전산수학 확률에 대해 알아보도록 하겠습니다.

4-1. 순열과 조합

4-1-1. Factoryal

주어진 양의 정수 n이있을때 n에서부터 아래로 1까지의 모든 정수를 곱한 것으로 서로다른 n개의 자료중 n개를 꺼내어 순서 있게 나열할 경우 적용한다.

4-1-2. 순열

① 서로 다른 n개 중에서 r개를 꺼내어 순서있게 나열할 수 있는 경우의수.

【예】서로다른 6개의 숫자중 3자리씩 만들 수 있는 방법은?

② n개를 다 뽑는 순열의 수는?

【예】5명의 학생을 일렬로 나열하는 방법의 수는?

4-1-3. 같은것이 있을때의 순열

서로다른 n개중 a개 ,b개,c개..가 각각 같을때 이들 n개를 일렬로 늘어놓은 순열의 수

【예】1, 1, 2, 2, 2, 3 6개의 숫자를 순서대로 나열하는 방법의 가지수는?

4-1-4. 중복 순열

서로 다른 n개중에서 r번까지 중복 허용하여 r개 꺼내어 순서 있게 꺼내 놓은 수

nPr에서는 반드시 n≥r 이지만 n∏r에서는 n<r일 때도 있다.

【예】1, 2, 3, 4중 중복을 허용하는 3자리수의 가지수는 ?

【연습】1, 2, 3, 4, 5를 써서 만들 수 있는 3자리 정수중에서

(1) 각자리의 숫자가 모두 틀리는 것은 몇개인가?

(2) 각 자리의 숫자가 같은 것이 있어도 무방할 때는 모두 몇개 인가?

4-1-5. 원순열

몇번 회전하여 포개어 질수 있는 경우의 순열(r개를 원으로 배열)

n개중 r개를 뽑아 만든 원순열의 수

원형으로 배열하는 방법의 수는

위의 그림을 볼때 A를 기준으로 배열하는 방법의 수는 (3-1)!=2임을 알 수 있다.

4-2. 조합

서로다른 n개의 대상 중에서 한번에 r개의 대상을 뽑아 순서에 관계없이 배열한 상태

4-2-1. 기본성질

【예】물리, 화학, 생물, 전산과목 중에서 2과목을 선택하는 방법의 수는 모두 몇가지인가?

【예】6권의책을 3권, 2권, 1권짜리 세묶음으로 묵는 방법의 총수는

4-2-2. 중복 조합

어떤 대상들을 중복을 허용하여 순서에 관계없이 배열한 상태

【예】두개의 숫자 1, 2에서 중복을 허락하여 세개를 취하는 중복 조합을 만들어 , 각 중복 조합의 원소의 크기의 순으로 나열하면?

{ 1, 1, 1 }, {1, 1, 2}, { 1, 2, 2 }, { 2, 2, 2} 의 네가지다.

즉, ₂H₃=4

4-2-3. 정리 합시다.( ₃P₂, ₃󰍎₂, ₃C₂, ₃H₂ )

세문자 a,b,c에서 2개 뽑는 방법의 수

₃P₂ : ab, ba, ca, bc, cb(순서 생각, 중복을 허락치 않음)

₃∏₂ : ab, ba, ac, ca, bc, cb, aa, bb, cc(순서생각, 중복을 허락)

₃C₂ : ab, ac, bc (순서불문, 중복을 허락치 않음)

₃H₂ : ab, ac, bc, aa, bb, cc (순서불문, 중복을 허락)

4-3. 확률

어떤 일이 일어나리라고 기대되는 정도를 0부터 1사이의 수치로 표시하는 것을 확률이라 하며 사건 A, B가 일어날 때 그 사건이 일어나는 확률은 반드시 0≤P(A)≤1 이고 0≤P(B)≤1이어야 한다.

4-3-1. 확률

(1) 표본공간

어떤 실험에서 발생 가능한 모든 사건들의 집합.

【예】주사위를 1개 던지는 실험에서의 표본공간 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

【예】동전 1개를 던지는 실험에서의 표본공간 {앞면,뒷면 }

(2) 확률의 응용

【예1】주사위를 한번 던졌을 때 짝수의 눈이 나올 확률은

【예2】주머니속에 흰공 3개, 검은공 4개가 들어 있다. 이 주머니에서 2개의 공을 꺼낼때 2개 모두 흰공이 나올 확률을 구하라.

4-3-2. 조건부 확률

A가 일어났을때 B가 일어날 확률 또는 B가 일어 났을 때 A가 일어날 확률로 어떤 주어진 조건에 의해 발생된 확률

(1) 확률의 가법

【참고】배반사건: E1, E2가 동시에 발생하지 않는 경우, 즉 P(A∩ B)=∅

(2) 확률의 승법

사건 A가 일어날 확률을 P(A), A가 일어 났을때 B가 일어나는 확률을 P(B|A), A와 B가 일어나는 확률을 P(A∩ B)라 하면 P(A∩B) = P(A)·P(B󰠐A)이다. 특히, A, B가 서로 독립이면 사건 A와 관계 없이 P(B󰠐A)=P(B)

즉, P(A∩ B) = P(A)․ P(B)이다.

【참고】독립사건 : 어떤 사건이 다른 사건의 발생 여부라든지 또는, 그 결과에 의해 영향을 받지 않고 발생하는 경우로 P(A∩B)=P(A)×P(B)를 만족하는 사건 A, B를 독립 사건이라 한다.

【참고】종속사건 : A, B가 서로 배반이 아닐때 즉, 두 사건 A, B에서 사건 A가 일어나는 여부에 따라 사건 B가 일어나는 확률이 달라 질때 , A와 B는 종속 사건이라 한다.

【참고】결합 확률 : 두가지 이상의 사건이 동시에 발생 한 확률

【예】P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(B󰠐A)=0.6일때 P(A|B)의 값은

P(A)․P(B|A)=P(B)․P(A|B) ∴ P(A|B)=0.8

4-3-3. 여사건의 확률

어떤 사건이 일어나지 않을 확률로 1에서 발생할 확률을 빼면 여사건이 된다.

P (A) = 1-P(A), P(Ac) = 1 – P(A)

4-3-4. 기대값

변량 x가중의 어느 한값을 취하고, 그 값을 취할 확률이

이라 할때

를 x의 기대값이라 한다.

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이상 “전산수학 확률”에 대해 알아보았습니다.